Happy Math Day ! 3/3 (三角形數、康托)

Amathing Number

  • 月份、日期都是三角形數。

 

 

Amathing Person

今天出生的數學家共有11人,其中包含俄羅斯出生的德國數學家Georg Cantor(康托)。

他的父親是丹麥商人,母親是俄羅音樂家,他自己也是一個很出色的小提琴手。

 

康托最著名的成果,是在集合論上,他證明無窮集合有許多不同的大小。

像是:自然數和偶數一樣多,整數和自然數也一樣多,甚至連有理數和自然數都一樣多。

他的理由是,這些集合裡的元素,都可以寫成一一對應的關係。

 

不過,實數就比自然數多了,甚至只要0到1之間的實數,就比自然數多了。

這裡的證明,用到了著名的對角線法。

所以,自然數是「可數」的無限多,但實數是「不可數」的無限多。

 

但是,0到1之間的實數,和0到100之間的實數,又一樣多了。

理由還是一樣,可以找到兩者的元素間,一一對應的方法。

 

超越數」是指一個數不是任何整係數方程式的根,例如:π、e。

與之相對的是「代數數」,例如√2。

已知的超越數非常稀少,而且很難證明,但是康托說:「代數數可數,超越數不可數」。

 

看完他提出的這些理論,是不是覺得有點難以接受呢?

事實上,當時的數學家也有一樣的反應,包含Kronecker和Gauss。他們的否定以及攻擊,讓他承受極大的壓力,使得他的後半生一直受到躁鬱症的影響,最後在療養院中過世。

 

他的連續統(Continuum)假說,是希爾伯特23個問題中的第一題。

希爾伯特也是當代非常推崇他的數學家,他說:沒有人能夠把我們從康托爾建立的樂園中趕出去」。

 

 

最後,推薦陳鍾誠教授的一個投影片,用平易近人的用語,把康托的集合論解說的非常清楚。

 

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