擲筊也可以很數學

☆擲筊、聖筊

筊杯是信徒與神佛溝通的媒介，用一對材質、造型相同的筊杯面對神佛同時擲下2個筊杯，可能發生的狀況有三：

其一，一陽一陰（一平一凸）：稱之為「聖筊」、「允筊」表示神明允許、同意，或行事會順利。

其二，兩陽面（兩平面）朝上：稱之為「笑筊」，表示神明一笑置之、不解，或者考慮中，行事狀況不明，可以重新再擲筊請示神明，或再次說清楚自己的祈求。

其三，兩陰面（兩凸面）朝上：稱之為「陰筊」、「哭筊」，表示神明否定、憤怒，或者不宜行事，此時選擇離開當屬上策，請勿再與神明糾纏不清。

 

擲筊的動機不外以下數端：

其一，面臨重大決定時舉棋不定祈求神佛指點迷津。

其二，遇重大災難祈求神佛消災解厄度過難關。

其三，有事相求請神祉以無邊法力助一臂之力。其四，祈求心靈的慰藉，有拜有保庇，擲茭求心安。

不管動機為何？若能擲出聖茭，且一次中的，乃信徒求神拜佛擲茭所殷殷企盼之理想情境。

 

 

☆投擲銅板出現聖杯機率為0.5

如果用2枚50元銅板充作筊杯，因50元銅板屬均質材料，投擲50元銅板出現正面(人頭)與反面(50元)朝上的機率各為0.5。

因此，若使用2枚50元銅幣同時投下，出現一正、一反(也就是俗稱的聖筊)的機率為0.5，呈兩正朝上(也就是俗稱的笑筊)的機率為0.25，呈兩反朝上(也就是俗稱的陰筊或哭筊)的機率為0.25。

在這樣的情況之下，擲筊擲出聖筊的機率為0.5，逮無爭議。

筊杯之造型要保證單一筊杯擲下後出現平凸朝上的機率各0.5，原本就是一種錯誤的假設。如果改用50元銅板為之，因銅板均質性高，相信投擲單一銅板出現正、反面朝上的機率各0.5當比較靠譜。不過筊杯造型、長相如斯，是一種宗教文化與圖騰，使用銅板代替，一切都變了味。

如圖1所示為常見筊杯樣貌圖，這樣的造型或許是為了美觀、或者是為了宗教文化的圖騰，不論其原因為何？我們可以很明顯地看出它的形狀並非對稱的。在此情境下擲下單一茭杯之q_凸=q_平=0.5是相當冒險的假設。

至於真正投擲的機率，由於茭杯的造型品類繁多，難以用純理論計算獲得，故採用實驗法是一較為現實的做法。若有興趣的讀者可以到廟宇向住持師父借茭杯一用，進行多次的投擲實驗，藉此可以得到一粗略的統計結果。

 

台中縣第47屆中小學科展。科展實驗中，作者擲了一千次筊，其中凸面次數為529次。

此一實驗也許與嚴謹科學實驗設計與規模必須達萬次以上容或尚有距離，但也證實了筊杯擲下出現凸、平面朝上之機率各半是一不成立的假說，且造型越特別、形狀越耀眼，誤差值越大。

就以台中縣第47屆中小學科展所揭實驗數據當常模，投擲單一筊杯出現凸面之機率為0.529。此一事實對我們堅信不移擲茭擲出聖茭之機率為0.5是否仍真？打上一問號。

若投擲單一筊杯出現凸面之機率不再是0.5，同時擲下2個筊杯出現聖筊之機率會與0.5有若干誤差？

可否利用人為方式打造特殊筊杯，讓擲筊出現聖筊之機率上修到≧0.5甚或接近1？

是接下來討論重點。

 

 

☆擲茭要用2個茭杯的理由

一、通俗理由

好事必須成雙，單一筊杯擲下，非正即反，非陰即陽，一翻兩瞪眼，確可透過筊杯清楚傳遞神祉對信徒所請之指引與指示。

但擲筊若只使用單一筊杯，少了對稱，失去了平衡總是怪怪的。使用成雙成對相同材質的筊杯，可以豐富其組合數，增加人神間溝通訊息，讓神意能更精準地傳遞，又有好事成雙之寓意，且操作執行方便。聖筊、笑筊、哭筊3種組合，神祉的3種態度，恰如其分。若有多重問題請求神助，可採多次擲筊。

2020年台灣的半導體產業在台積電此一護國神山領軍下交出一張亮麗的成績單。半導體以1/0二進位制改變了全世界，信徒用筊杯、銅板用凸/平、正/反、陰/陽面朝上表達有/無、Y/N、1/0，與神祉溝通無礙。

二、數學理由

筊杯造型顯非均質，投擲單一筊杯凸/平朝上之機率並非=0.5，若使用一對非均質筊杯擲筊，雖然凸面朝上的機率≧0.5，也可將聖筊的機率調整為接近0.5。

通常擲筊所使用的筊杯都是，若使用出現聖筊之機率可用方程式

p=2q(1-q)

表示，式中p:擲茭出現聖茭之機率，q:投擲單一茭杯出現凸面朝上之機率，可記做q_凸。

 

p=2q(1-q)可用配方法整理成

p=-2[(q^2-q+(1/4)]+(1/2)=-2[p-(1/2)]^2+(1/2)

 

若將p替換成y，q替換成x

y=-2[x-(1/2)]^2+(1/2)

此方程式看起來是否很面熟？

沒錯它就是:頂點座標(0.5，0.5)，開口向下的拋物線，如圖2所示為根據方程式p=2q(1-q)所繪製而成的p-q關係曲圖線，圖2曲線圖傳達了以下二訊息。

其一，p的極大值為0.5。

其二，當q=0.5時，有p之極大值。

翻譯成大白話：若使用一對相同材質、相同造型的筊杯，擲出聖茭的最大機率是0.5，且要擲出最大機率，還必須使用均質筊杯，也就是單一筊杯凸、平面朝上之機率各半。

令q=0.529≒0.53代入上式，p=2*0.529(1-0.529)=0.498，對照圖2曲線圖，當q=0.53時，與0.5誤差0.03，p=0.498與0.5誤差僅0.002。

若q=0.7時，p=2*0.7(1-0.7)=0.42，當q之誤差值高達40%時，p的誤差值僅8%。

因此只要使用一對同質的筊杯擲筊，就算筊杯不是很均質，仍可將每一次擲茭都能擲出機率為0.5或接近0.5的聖筊。

 

雖然信徒擲筊都期待出現聖筊，但若神明聖筊給得太浮濫，世間之事不如人意者時常八九，有0.5聖筊之機率，已經太超過了，將聖筊出現機率控制在0.5以內，且接近0.5當是神明與信徒間的最大公約數。

因此擲筊通常選用一對造型、材質都相同的茭杯，一起擲下，2筊杯凸、平互補，縱使q_凸與0.5有誤差，總能將每次擲筊出現聖筊的機率控制在神明與信徒間的最大公約數範圍內。

 

 

 

☆讓擲筊出現聖筊機率最大化

擲筊的過程，利用2個筊杯，產生了4種組合，一切的溝通都可透過擲筊，清楚接收到神佛之開示，心領神會。不管擲筊前信徒所求所問為何？只要擲出一正一反的聖筊，無不喜上眉梢。

如祈求之事相當慎重，若是經過神靈連續三次聖杯的加持，信徒總能將此神蹟神格化，並深信有佛法無邊的神力導引護體，必能有求必應，柳暗花明。的確也是，要想連續3次都擲出聖筊的機率為(1/2)^3=1/8，確實不容易。

既然單一筊杯擲出q_凸(凸面朝上之機率)≒0.53≧0.5是一既成事實，可否利用此一事實，巧妙設計出特殊筊杯，讓聖筊出現之機率最大化，並預估可大到若干？

 

要讓筊杯擲出q_凸=q_平=0.5，最重要的是均質，如果分別在筊杯的凸或平面灌入重金屬，讓一對筊杯中形成一個筊杯q_凸=0.7，另一個q_平=0.8的組合，則其擲筊出現聖筊之機率為

0.7*0.8+0.3*0.2=0.62

如果工藝技術許可製造出一組q_凸=0.9、q_平=0.95的組合，此種組合擲筊出現聖筊之機率為:

0.9*0.95+0.1*0.05=0.863

用此神器擲筊，當然得到聖筊機率大增，如此的技倆，也許可在人間招搖撞騙得逞獲利，但在莊嚴的神殿面前，騙局始終是會被拆穿的。

 

 

☆結語

擲筊是人類用來與鬼神溝通的工具，雖然談不上高大上，但一個宗教的圖騰與儀式，除了隱藏著二進位制，更隱藏著蘊底深厚的數學模型，包含機率、代數、解析幾何…..等等。羅丹說美到處都是，只是缺少發現。數學之美也到處都是，神奇的數學之美你發現了嗎？

 

 

 

作者簡介：謝其政

師範大學工教系畢業，台北科技大學車輛工程研究所碩士，北科附工(前桃園農工)教師退休