數感生活——莫名其妙藏在分數裡的費波那契數列?!

【數感生活——莫名其妙藏在分數裡的費波那契數列?!】

網友 Jace Ju 分享了一則有趣的twitter趣味數學是這樣的:

有一個奇怪的分數,分子為1,分母是48位數,其中只有第24位是8,其餘位數全部都是9。這個分數化成小數時,會規律地從第48位起,每隔24位出現一組非零的數字:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,….

這些數字剛好是費波那契數列!!!

當然,你可以把它看作是一個巧合,或是一個奇蹟,但在數學上,必然事出有因。有興趣的朋友可以先想一想,底下我們會公布它的解釋。
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(要看解釋了嗎)
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(不再想想嗎)
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(自己想出來會很有成就感噢?)
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原因的圖解我們放在下方,這背後的原因主要是:

此分數是從 x^2/(1-x-x^2)這組方程式,帶入x=10^(-24)所得到的,詳情可以參考留言的圖片。當我們直接把 x^2/(1-x-x^2)換成一般的多項式表示時(使用簡單的方程式長除法即可轉換),可得到第一項是x^2,第二項是x^3,第三項是x^4,依此類推。有趣的是,每一項的係數剛好就是費波那契數列(Fn)!

這麼一來,當你帶入x=10^(-24)時,就會得到小數點從第48位(x^2)開始,每24位會出現一組費波那契數列。

來源:數感實驗室

雖然找到理由了,但一點也不減少數學奧妙的韻味。

 

 

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