數感生活——莫名其妙藏在分數裡的費波那契數列？！

【數感生活——莫名其妙藏在分數裡的費波那契數列？！】

網友 Jace Ju 分享了一則有趣的twitter趣味數學是這樣的：

有一個奇怪的分數，分子為1，分母是48位數，其中只有第24位是8，其餘位數全部都是9。這個分數化成小數時，會規律地從第48位起，每隔24位出現一組非零的數字：

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,….

這些數字剛好是費波那契數列！！！

當然，你可以把它看作是一個巧合，或是一個奇蹟，但在數學上，必然事出有因。有興趣的朋友可以先想一想，底下我們會公布它的解釋。
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（要看解釋了嗎）
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（不再想想嗎）
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（自己想出來會很有成就感噢？）
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原因的圖解我們放在下方，這背後的原因主要是：

此分數是從 x^2/(1-x-x^2)這組方程式，帶入x=10^(-24)所得到的，詳情可以參考留言的圖片。當我們直接把 x^2/(1-x-x^2)換成一般的多項式表示時（使用簡單的方程式長除法即可轉換），可得到第一項是x^2，第二項是x^3，第三項是x^4，依此類推。有趣的是，每一項的係數剛好就是費波那契數列(Fn)！

這麼一來，當你帶入x=10^(-24)時，就會得到小數點從第48位（x^2)開始，每24位會出現一組費波那契數列。

雖然找到理由了，但一點也不減少數學奧妙的韻味。

 

 

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