高斯符號 ─ 取底、取頂、函數圖形、符號沿革

高斯符號 [x]，是指「小於或等於x的最大整數」。

例如：[3.6]=3，[1]=1，[－2.2]=－3。

後來，高斯符號又發展成兩種符號，分別是取底符號（floor function）和取頂符號（ceiling funcation）。

取底符號 floor(x)，是指「小於或等於x的最大整數」。也就是前面所說的高斯符號，使用的符號是[]，但只有下方的橫槓。

取頂符號 ceiling(x)，是指「大於或等於x的最小整數」。使用的符號是[]，但只有上方的橫槓。

因此，一個整數的 floor(x) 等於 ceiling(x)，一個小數的 floor(x) 比 ceiling(x) 小1。

用英文想其實很清楚，取底符號就是「地板」，取頂符號就是「天花板」。

舉例如下。

$\left \lfloor 3.6 \right \rfloor=3$

$\left \lfloor 3 \right \rfloor=3$

$\left \lceil 3.6 \right \rceil=4$

$\left \lceil 3 \right \rceil=3$

最早引入這個概念的，是法國數學家 Adrien-Marie Legendre，他在1798年證明 the Legendre’s formula 時，使用了「partie entière」一詞，也就是英文的「integer part」，就是指一個數的「整數部分」，也就是取底符號。

高斯則是於1808年，在《算術研究》中，證明「二次互反律」（Quadratic Reciprocity）時，使用符號 [x] 來表示一個數的整數部分。

1962年，計算機科學家 Kenneth Iverson 在《A Programming Language》一書中，首次使用 floor 及 ceiling，以及對應的符號 ⌊x⌋ 和 ⌈x⌉，來分別表示取底符號和取頂符號。

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