Happy Math Day ! 3/3 （三角形數、康托）

Amathing Number

• 月份、日期都是三角形數。

 

 

Amathing Person

今天出生的數學家共有11人，其中包含俄羅斯出生的德國數學家Georg Cantor（康托）。

他的父親是丹麥商人，母親是俄羅音樂家，他自己也是一個很出色的小提琴手。

 

康托最著名的成果，是在集合論上，他證明無窮集合有許多不同的大小。

像是：自然數和偶數一樣多，整數和自然數也一樣多，甚至連有理數和自然數都一樣多。

他的理由是，這些集合裡的元素，都可以寫成一一對應的關係。

 

不過，實數就比自然數多了，甚至只要0到1之間的實數，就比自然數多了。

這裡的證明，用到了著名的對角線法。

所以，自然數是「可數」的無限多，但實數是「不可數」的無限多。

 

但是，0到1之間的實數，和0到100之間的實數，又一樣多了。

理由還是一樣，可以找到兩者的元素間，一一對應的方法。

 

「超越數」是指一個數不是任何整係數方程式的根，例如：π、e。

與之相對的是「代數數」，例如√2。

已知的超越數非常稀少，而且很難證明，但是康托說：「代數數可數，超越數不可數」。

 

看完他提出的這些理論，是不是覺得有點難以接受呢？

事實上，當時的數學家也有一樣的反應，包含Kronecker和Gauss。他們的否定以及攻擊，讓他承受極大的壓力，使得他的後半生一直受到躁鬱症的影響，最後在療養院中過世。

 

他的連續統(Continuum)假說，是希爾伯特23個問題中的第一題。

希爾伯特也是當代非常推崇他的數學家，他說：沒有人能夠把我們從康托爾建立的樂園中趕出去」。

 

 

最後，推薦陳鍾誠教授的一個投影片，用平易近人的用語，把康托的集合論解說的非常清楚。