手遊課金會破產嗎?

這是一個實用的小問題,能讓你避免破產的命運。許多手機遊戲不是都有虛擬抽獎的扭蛋機制嗎?玩家必須花費大量新台幣課金,才能抽取想要的角色或卡片,於是就出現在遊戲上狠砸數十萬卻抽不到角色,替遊戲公司貢獻大把銀子的「課長」。

遊戲公司都擅長行銷,相中的正是人類嗜賭且過份樂觀的心態。事實上,假設抽中某角色的機率是1/10,那並不代表抽10次就一定會抽中,有人運氣好,有人天生帶賽,數學上來講則是好運跟壞運的這些人「平均」抽10次就會抽中。注意這個觀念的不同之處,我們算不出你燒香拜佛後第幾次必定會抽中,但「平均」的次數是可以計算的。

 

 

先從一個直覺的題目看起:丟一顆骰子,平均要丟幾次才會丟出點數六?

答案可以很直觀:骰子每個點數出現的機率都相同,有人運氣好一次就丟出六,有人運氣差丟了幾十次都沒有六,但平均來說,因為每個點數出現的機率相等,所以可以想像成丟六次當中平均每個點數都會出現一次,也就是平均丟六次就會出現點數六。再看看下列問題。

 

問題一:假設10支籤中只有1支是中獎籤(而且規定抽完後要把籤放回去,保證每次抽的中獎機率都相同),那平均要抽幾次才會中獎呢?

答:因為抽中的機率是1/10,所以平均要抽10次才會抽中籤。

 

問題二:同上,改成10支籤中有2支是中獎籤,那平均要抽幾次才會中呢?

答:中獎的機率提高成兩倍了,所以需要抽的次數自然跟著減少一半,平均抽5次即可。

 

問題三:同問題一,改成10支籤中有3支是中獎籤,那平均要抽幾次才會中呢?

答:中獎的機率提高成3倍,抽的次數也會變成原本的1/3,雖然有點怪,是個分數,但答案確實是平均要抽10/3次。

 

問題四:同問題一,考慮一個極端的情況,10支籤中10支都是中獎籤,那平均要抽幾次才會中呢?

答:中獎的機率是100%!絕對是只抽1次就會中獎。順著上面的算式來看,中獎機率提高成10倍,平均要抽10/10次。

 

數學上當然有詳盡的理論可以解釋這些答案,高中有一節數學單元叫做「期望值」,專門處理這類問題,我們就先不談太深的計算,反正遲早會學到的。

 

 

現在再繼續想想手機遊戲中抽課金角的問題,假設遊戲只有兩名角色待抽,那我們平均要抽幾次才能兩個都抽中呢?

為了抽到第一個人:隨意抽都可,要耗費1次。

為了抽到第二個人:此時兩人中只剩下一個人是我們要的,相當於有兩支籤,一支中獎一支不中,中獎機率是1/2,所以平均要耗費2次才能抽中。

以上,一共要抽1+2=3次

 

如果遊戲有三名角色,那我們平均要抽幾次才能兩個都抽中呢?

為了抽到第一個人:隨意抽都可,要耗費1次。

為了抽到第二個人:此時三名中有兩名是我們要的,相當於有三支籤,兩支中獎一支不中,中獎機率為2/3,平均要耗費3/2次才能抽中。

為了抽到第三個人:最後剩下一人還沒被抽中,抽中的機率只有1/3,所以平均要抽3次才會抽中最後這個人。

以上,一共要抽1+3/2+3=5.5次

 

當角色變成四名時,情況又如何呢?

第一個人要抽1次。

第二個人要抽4/3次。

第三個人要抽4/2次。

第四個人要抽4次。

一共要抽1+4/3+4/2+4=8.33次

 

細心的人應該可以歸納出公式了,假設有10個角色待抽。那平均需要耗費的次數為:

1+10/9+10/8+10/7+10/6+10/5+10/4+10/3+10/2+10=29.29次

 

這個式子可以表示成10(1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10),不妨將他看成一個公式。如果想要抽的角色提高到20個,平均需要耗費的次數為

20(1+1/2+1/3+…+1/19+1/20)=71.95次!

 

 

最後,仍要注意這個數字只是「平均」,不代表一定會在這個次數之內抽中全角色。當角色數量增加到26名時,平均抽取次數就會超過100,是四倍之多。此外,我們上述的計算都是基於每個遊戲角色出現機率相同的條件,實際上遊戲公司一定會將最受歡迎最強大的角色的中獎機率調低,調到多低不見得會公佈,公佈了也不值得玩家相信。強烈建議大家玩手由前一定要惦量自己的能力,遊戲是個無底的坑啊。

 

 

關於手遊課金的文章,還可以參考下面這邊文章。

學以致用,日本高三學生發表手遊抽卡掉率研究文章獲得日本數學檢定協會獎 – iFuun

(封面圖片來源: iFuun)

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