世界盃中的數學 ─ 比賽場數
搭一下世足熱。
世界盃賽程分為「小組賽」及「16強淘汰賽」。
這次的重點是「比賽場數」，因為這剛好和高一下的前兩個數學單元相關─「等比級數」及「排列組合」。
小組賽 ─ 排列組合
「小組賽」分為8組，每組4隊，進行循環賽。
這4支球隊，每一隊都要比3場比賽，但是因為「俄羅斯vs沙烏地阿拉伯」和「沙烏地阿拉伯vs俄羅斯」會被重複計算，所以總場次是「4×3÷2=6」。
也可以想像「從4隊中取2隊比賽」，也就是組合數學中的「C4取2」。
小組賽總場次為8×6=48。
16強賽 ─ 等比級數
「16強淘汰賽」場次則是依序為8+4+2+1=15場，8+4+2+1是等比級數。
1+2+4+8是公比為2的等比級數，公式為 (24-1) / (2-1) =16-1=15。
也可以想像，16強比賽中，每場會有一隊輸球，而除了冠軍隊外，都恰好會輸一場，所以總場次是16-1=15。
因此，加上季軍賽後，整個世界盃中的總場次為48+15+1=64，剛好是總出賽國家的2倍呢！
更詳細的說明，請參考文章：世界盃的數學：決賽週需要多少場比賽？ – The News Lens 關鍵評論網
如果增加國家數……
想想看，假如某一年為了擴大國家參與率，增加一半的國家，也就是從32國增加為48國，小組賽一樣分為8組，一樣取16強進決賽，請問小組賽會變為多少場次？
感覺只多一半的國家，好像不會多太多場？
答案是：8×「C6取2」=8×15=120場！
能想像嗎？只增加了一半的國家，小組賽場次會暴增為2.5倍！
事實上，即使只增加1/4的國家，也就是總國家數增為40，小組賽場次也會變為8×「C5取2」=8×10=80場，增加了2/3的場次。
等差級數？
「C6取2」=15
「C5取2」=10
「C4取2」=6
有沒有覺得這幾個數字有點關聯？
事實上，
「C6取2」=1+2+3+4+5
「C5取2」=1+2+3+4
「C4取2」=1+2+3
沒錯，就是等差級數。
這也可以有個很直覺的想法。
如果一組只有1隊，沒辦法打比賽，所以是0場。
增加為2隊，那麼原先那1隊要和新球隊多打一場，所以是0+1場。
增加為3隊，那麼原先那2隊要和新球隊多打一場，所以是0+1+2場。
增加為4隊，那麼原先那3隊要和新球隊多打一場，所以是0+1+2+3場。
解決方法
回到剛剛的討論，有可能在不增加太多場次的情況下，將參賽國增加為48國嗎？
可以的，只要將小組賽更改為：「16組，每組3國，取分組第一進決賽」。
這樣小組賽的場次會和現行一模一樣！
不過，這樣小組賽話題性應該會少了很多。
感謝網友蔡仲達補充
現在據說比較有可能版本之一是 分16組 每組3國取前2進淘汰賽 一共會比80場
參加國家從32變48多50% 比賽總場數從64變80只多25%
而且小組三取前二 比現在的四取前二 更不容易有死亡之組的冏境出現遺珠
缺點一:很容易積分平手 但也許可以改跟淘汰賽一樣 沒有和局而是一定要分勝負
缺點二:小組賽程的時間安排會比較複雜(甲和乙比 丙只能休兵)
缺點三:小組賽會變的比較兒戲 只要該組有一隊明顯弱的 其他兩國就是躺著踢都進 也許就踢的比較不認真
直覺與數學
在討論某些問題時，似乎可以不用太多數學，憑著一點點的直覺想法就可以算出。
但是有些問題，直覺就完全失效了，必須仰賴數學來得到確切的答案，這也是數學的力量所在。
延伸閱讀
最後附上均一教育平台上，關於這兩個主題的影片，有興趣的朋友歡迎自學喔！
級數：https://www.junyiacademy.org/course-compare/math-grade-10/sequences-and-series-a/geometric-series