世界盃中的數學 ─ 比賽場數

搭一下世足熱。

世界盃賽程分為「小組賽」及「16強淘汰賽」。

這次的重點是「比賽場數」,因為這剛好和高一下的前兩個數學單元相關─「等比級數」及「排列組合」。

2018世界盃賽程表(來源:World Soccer Talk)

 

 

小組賽 ─ 排列組合

「小組賽」分為8組,每組4隊,進行循環賽。

這4支球隊,每一隊都要比3場比賽,但是因為「俄羅斯vs沙烏地阿拉伯」和「沙烏地阿拉伯vs俄羅斯」會被重複計算,所以總場次是「4×3÷2=6」。

也可以想像「從4隊中取2隊比賽」,也就是組合數學中的「C4取2」。

小組賽總場次為8×6=48。

 

 

16強賽 ─ 等比級數

「16強淘汰賽」場次則是依序為8+4+2+1=15場,8+4+2+1是等比級數

1+2+4+8是公比為2的等比級數,公式為 (24-1) / (2-1) =16-1=15。

也可以想像,16強比賽中,每場會有一隊輸球,而除了冠軍隊外,都恰好會輸一場,所以總場次是16-1=15。

 

 

因此,加上季軍賽後,整個世界盃中的總場次為48+15+1=64,剛好是總出賽國家的2倍呢!

更詳細的說明,請參考文章:世界盃的數學:決賽週需要多少場比賽? – The News Lens 關鍵評論網

 

 

如果增加國家數……

想想看,假如某一年為了擴大國家參與率,增加一半的國家,也就是從32國增加為48國,小組賽一樣分為8組,一樣取16強進決賽,請問小組賽會變為多少場次?

感覺只多一半的國家,好像不會多太多場?

答案是:8×「C6取2」=8×15=120場!

能想像嗎?只增加了一半的國家,小組賽場次會暴增為2.5倍!

事實上,即使只增加1/4的國家,也就是總國家數增為40,小組賽場次也會變為8×「C5取2」=8×10=80場,增加了2/3的場次。

 

 

等差級數?

「C6取2」=15

「C5取2」=10

「C4取2」=6

有沒有覺得這幾個數字有點關聯?

事實上,

「C6取2」=1+2+3+4+5

「C5取2」=1+2+3+4

「C4取2」=1+2+3

沒錯,就是等差級數。

這也可以有個很直覺的想法。

如果一組只有1隊,沒辦法打比賽,所以是0場。

增加為2隊,那麼原先那1隊要和新球隊多打一場,所以是0+1場。

增加為3隊,那麼原先那2隊要和新球隊多打一場,所以是0+1+2場。

增加為4隊,那麼原先那3隊要和新球隊多打一場,所以是0+1+2+3場。

 

 

解決方法

回到剛剛的討論,有可能在不增加太多場次的情況下,將參賽國增加為48國嗎?

可以的,只要將小組賽更改為:「16組,每組3國,取分組第一進決賽」。

這樣小組賽的場次會和現行一模一樣!

不過,這樣小組賽話題性應該會少了很多。

 

感謝網友蔡仲達補充

現在據說比較有可能版本之一是 分16組 每組3國取前2進淘汰賽 一共會比80場

參加國家從32變48多50% 比賽總場數從64變80只多25%

而且小組三取前二 比現在的四取前二 更不容易有死亡之組的冏境出現遺珠

缺點一:很容易積分平手 但也許可以改跟淘汰賽一樣 沒有和局而是一定要分勝負

缺點二:小組賽程的時間安排會比較複雜(甲和乙比 丙只能休兵)

缺點三:小組賽會變的比較兒戲 只要該組有一隊明顯弱的 其他兩國就是躺著踢都進 也許就踢的比較不認真

 

直覺與數學

在討論某些問題時,似乎可以不用太多數學,憑著一點點的直覺想法就可以算出。

但是有些問題,直覺就完全失效了,必須仰賴數學來得到確切的答案,這也是數學的力量所在。

 

 

延伸閱讀

最後附上均一教育平台上,關於這兩個主題的影片,有興趣的朋友歡迎自學喔!

級數:https://www.junyiacademy.org/course-compare/math-grade-10/sequences-and-series-a/geometric-series

排列與組合:https://www.junyiacademy.org/math-grade-10/root/permutations-and-combinations_a/permutations-combinations

 

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