數感生活——你覺得哪道證明比較美

【數感生活——你覺得哪道證明比較美】

這世界上有所謂的「美麗的畫作」、「悅耳的歌曲」,都是人們可以憑著直覺辨認出來的,你覺得,我們也能用直覺分辨出哪一種「數學證明」比較優美嗎?

耶魯大學數學系的史坦柏格教授與英國巴斯大學的約翰遜教授日前在《Cognition》期刊上發表的論文,展現了就算沒有受過數學家的專業訓練,一般人也能像欣賞畫作一樣,能鑑賞出比較「美」的數學證明。

 

下面是他們所挑選的四道證明,題目分別是

  1. 數學王子高斯計算1加到100的方法
  2. 鴿籠原理:一組5人團體中,必然有兩人的朋友數目相同(註)
  3. 無窮等比級數,首項與公比皆為1/2,級數和為1的證明
  4. 從1開始的連續奇數相加,必為平方數

 

研究邀請了約三百位受測者,請他們依據直覺,將每道證明從0~10評分。你要不要也評分看看呢?

答案揭曉,人們評鑑的喜好順序是4(4.27)>3(3.95)>1(3.54)>2(2.56),最美的證明是連續奇數相加為平方數,最不好看的是此處的鴿籠原理。你也有類似的感受嗎?

 

這項研究同時提供了四幅畫作請受測者評分,最低分的畫作依然有7.25分,比最高分的數學證明更能讓人感受到美的存在,真是有點令人喪氣的結果。不過有趣的還在後頭。除了讓人們直接替「多美」打分數,研究者還設計了好幾種不同的指標例如:優雅(elegance)、創新(novelty)、複雜(sophistication)等更具體的美的面向,讓人們針對不同的畫作、證明來評比。

結果發現,在眾多面向中,優雅、清楚(clarity)與深度(profundity)是人們在評價畫作時,跟美最相關的三個面向。換句話說,人們認為這幅畫美不美,很大的比重是取決於他是否感受到了畫作中的優雅、清楚、深度。

但當人們在看數學式子時,一般人只能運用「優雅」這個面向來判斷這道證明是否美利。然而,重點來了,研究同時邀請數學家來評分,而經過長期訓練的數學家,他們能鑑別出證明中的「清楚」與「深度」之美,又跟鑑別畫作是一樣的。

 

這項研究揭露了兩個有趣的面向,首先,一般人也能像面對藝術作品一樣,對數學的美醜有直觀性的感受;其次,數學的訓練,不只讓人更擅於計算或邏輯思考,還能讓我們更精確地感受到數學之美。

數學不只是一門學問,它還是一門藝術。

 

參考文獻:Intuitions about mathematical beauty: A case study in the aesthetic experience of ideas

註: 台灣較常學到的鴿籠原理會用抽屜跟物品來舉例,比方說,若是有5個物品4個抽屜,必然有一個抽屜會放兩件以上的物品。

 

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