108課綱中的等差級數和公式題型討論

課程手冊中，對於等差級數求和的敘述如下：

N-8-5 等差級數求和：等差級數求和公式；生活中相關的問題。
備註：不處理「已知級數和反求首項、項數或公差」。

評量
1. 主要評量要點如下：由等差數列的首項、末項或首項、公差求得前 n 項和S_n。
2. 評量內容不涉及解聯立方程式，例如：給定S₁₀和S₃₅的值，反求首項和公差。

 

其中，「已知級數和反求首項、項數或公差」的題型，在過去還蠻常見的。

例如以下幾題。

已知一個等差級數的首項為－4，末項為26，和為121，求其項數與公差。

 

艾美參加創意骨牌大賽，她拿了60個骨牌做了一個可以讓骨牌爬樓梯的臺階。已知臺階最下層有15個骨牌，且相鄰的兩層骨牌中，上層會比下層少2個骨牌，則這個骨牌臺階共有幾層？臺階的最上層共有幾個骨牌？

 

走路是很好的運動，洛基在學校400公尺的操場，走完第1圈需耗時6分鐘；第2圈需耗時6.5分鐘；……，且之後每一圈所需要的時間均比他在前一圈所花的時間多0.5分鐘。若洛基今天共花了62分鐘，則共走了多少圈？

到底上面幾題，是否就是「已知級數和反求首項、項數或公差」呢？

 

筆者針對此疑惑，詢問了單維彰教授，得到回應如下：

國中教科書審查會議在這個問題上斟酌了很久，也跟教科書作者往返溝通，確實是個很難「定義」清楚孰可孰不可的狀況。

大原則（原理）是：數列與級數是用來「速算」總和的數學方法，它就像乘法的下一步，也是一般性排列組合的前置經驗。

教學目標要展現此方法的優勢與威力，讓學生掌握這個數學工具的用法，避免利用數列與級數作為代數命題的平台。

小原則是，如果有合理的需求情境，而且僅涉及一次方程，就可有限度地「反求」。

由情境帶出需求之後，可以在合理範圍內作些沒有情境的操作練習。

個人解讀重點有兩個。

第一，教學目標的重點，是讓學生覺得數列與級數很好用，並且掌握這個工具。應該要避免利用此公式考代數解題。

第二，如果情境合理，而且只需解一元一次方程式，則可以有限度的使用。

 

可以說，教學的目標，應該是讓學生感受到數學的「有用」且「好用」，而非「濫用」。

至於怎麼樣讓學生覺得「有用」且「好用」，哪些題型適合展現這些特性，還是得靠老師們自行判斷了。