108課綱中的等差級數和公式題型討論

課程手冊中,對於等差級數求和的敘述如下:

N-8-5 等差級數求和:等差級數求和公式;生活中相關的問題。
備註:不處理「已知級數和反求首項、項數或公差」。

評量
1. 主要評量要點如下:由等差數列的首項、末項或首項、公差求得前 n 項和Sn
2. 評量內容不涉及解聯立方程式,例如:給定S10和S35的值,反求首項和公差。

 

其中,「已知級數和反求首項、項數或公差」的題型,在過去還蠻常見的。

例如以下幾題。

已知一個等差級數的首項為-4,末項為26,和為121,求其項數與公差。

 

艾美參加創意骨牌大賽,她拿了60個骨牌做了一個可以讓骨牌爬樓梯的臺階。已知臺階最下層有15個骨牌,且相鄰的兩層骨牌中,上層會比下層少2個骨牌,則這個骨牌臺階共有幾層?臺階的最上層共有幾個骨牌?

 

走路是很好的運動,洛基在學校400公尺的操場,走完第1圈需耗時6分鐘;第2圈需耗時6.5分鐘;……,且之後每一圈所需要的時間均比他在前一圈所花的時間多0.5分鐘。若洛基今天共花了62分鐘,則共走了多少圈?

到底上面幾題,是否就是「已知級數和反求首項、項數或公差」呢?

 

筆者針對此疑惑,詢問了單維彰教授,得到回應如下:

國中教科書審查會議在這個問題上斟酌了很久,也跟教科書作者往返溝通,確實是個很難「定義」清楚孰可孰不可的狀況。

大原則(原理)是:數列與級數是用來「速算」總和的數學方法,它就像乘法的下一步,也是一般性排列組合的前置經驗。

教學目標要展現此方法的優勢與威力,讓學生掌握這個數學工具的用法,避免利用數列與級數作為代數命題的平台。

小原則是,如果有合理的需求情境,而且僅涉及一次方程,就可有限度地「反求」。

由情境帶出需求之後,可以在合理範圍內作些沒有情境的操作練習。

個人解讀重點有兩個。

第一,教學目標的重點,是讓學生覺得數列與級數很好用,並且掌握這個工具。應該要避免利用此公式考代數解題。

第二,如果情境合理,而且只需解一元一次方程式,則可以有限度的使用。

 

可以說,教學的目標,應該是讓學生感受到數學的「有用」且「好用」,而非「濫用」。

至於怎麼樣讓學生覺得「有用」且「好用」,哪些題型適合展現這些特性,還是得靠老師們自行判斷了。

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