樂高中的貝氏定理

學過機率的讀者,應該都知道「貝氏定理」(Bayes’ Theorem),這是關於條件機率的重要定理。

但你想過,用樂高積木,也可以說明「貝氏定理」嗎?

 

 

從小小的積木開始

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如上圖,假設底層的紅藍積木是整個機率空間,大小是60格。

因此,P(藍底) = 40/60 = 2/3、P(紅底) = 20/60 = 1/3。

很合理的,P(藍底) + P(紅底)= 1。

另外,P(有黃塊) = 10/60 = 1/6。

 

 

條件機率

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進入條件機率,來算算P(有黃塊|紅底)。這個機率的意思是:給定「紅底」這個條件下,「有黃塊」的機率。

P(有黃塊|紅底) = 有黃塊的紅底格數 / 紅底格數 = 4/20 = 1/5。

也就是說,如果已經知道某個人所在位置的底層是紅色的,那麼他同時又在黃塊上的機率是1/5。

 

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再來算算另一個條件機率,P(紅底|有黃塊)。根據上面的說明,這個機率的意思是:給定「有黃塊」這個條件下,「紅底」的機率。

P(紅底|有黃塊) = 有黃塊的紅底格數/有黃塊格數 = 4/6 = 2/3。

也就是說,如果已經知道某個人在黃塊上,那麼他的所在位置的底層同時又是紅色的的機率是2/3。

 

 

導出貝氏定理

先定義幾個名詞。

P(Red|Yellow):P(紅底|有黃塊)

Yellow-Red:有黃塊的紅底格數

Yellow:有黃塊格數

Red:紅底格數

Total:總格數

 

開始推導。

P(R|Y) = \frac{ Yellow-Red }{ Yellow }

Yellow-Red = P(Y|R) * Red(有黃塊的紅底格數 =P(有黃塊|紅底) * 紅底格數)

 

P(R|Y) = \frac{ P(Y|R) * Red }{ Yellow }

Red = P(R) * Total(紅底格數 = P(紅底) * 總格數)
Yellow = P(Y) * Total(有黃塊格數 = P(有黃塊) * 總格數)

 

P(R|Y) = \frac{ P(Y|R) * P(R) * Total }{ P(Y) * Total }

約掉 Total(總格數)。

 

P(R|Y) = \frac{ P(Y|R)*P(R) }{ P(Y) }

 

 

最後,假設「紅底」是A事件,「有黃塊」是B事件。

P(A|B) = \frac{ P(B|A)*P(A) }{ P(B) }

貝氏定理完成!

 

 

原文:https://www.countbayesie.com/blog/2015/2/18/bayes-theorem-with-lego

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