無窮等比級數和的無字證明

1/4 + 1/16 + 1/64 + …

依此規則持續計算下去,會得到哪個結果?

如果高中數學還沒忘,應該都知道是1/3。

現在來看看這式子的無字證明(proof without words)。

 

 

Geometric series
1/4 + 1/16 + 1/64 + … = 1/3

把一個正三角形平分成4個「小正三角形」,

外圍的三塊分別塗上藍、綠、褐三色,其中藍色的三角形面積是原來的「1/4」。

中間那塊再平分成4個「小小正三角形」。

外圍的三塊分別塗上藍、綠、褐三色。其中藍色的三角形面積是原來的「1/16」。

依此規則不斷切割和著色,那麼,藍色部分的面積就是「1/4 + 1/16 + 1/64 + …

由於整個圖形會由三色填滿,且每種顏色面積都一樣大,因此,藍色部分的面積就是「1/3

1/4 + 1/16 + 1/64 + … = 1/3

得證。

 

 

來源:http://blog.matthen.com/post/143974612161/a-visual-proof-that-%C2%BC-116-164-13

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