骰子中的食物鏈 ─ 非遞移性骰子 Intransitive Dice
甲剋乙，乙剋丙，那麼甲一定剋丙嗎？
不不不，在骰子世界中，可不是這麼單純的。
因為有一種特別的骰子組合叫做「非遞移性骰子」 (Intransitive Dice)。
骰子中的食物鏈
一套骰子中，如果出現一種循環優勢，例如：「A 勝 B、B 勝 C、但 C 卻勝 A」，這種骰子組合就叫做「非遞移性骰子」 (Intransitive Dice)。
例如我們曾經介紹過的四骰問題，就是一種非遞移性骰子，而且這套骰子組合還有專屬的名字 ─ Efron’s Dice，以發明者 Bradley Efron 為名。
用「棒打老虎雞吃蟲」的機制來理解，就很簡單了。
如果用這樣的骰子組合進行賭局，後選擇骰子的玩家，可以依據對手先選的骰子，來找到相剋的骰子，增加自己的獲勝機率。
剪刀石頭布 ─ 三顆骰子的情形
非遞移性骰子至少要有三顆骰子，例如下方的骰子組合：
- ✊：1, 2, 5, 6, 7, 9
- ✌️：1, 3, 4, 5, 8, 9
- 🖐️：2, 3, 4, 6, 7, 8
這叫做 Miwin’s dice，其中✊贏✌️的機率是17/36，看起來低於一半，但是因為有3/36的機率平手，所以輸的機率只有16/36，只有非常非常些微的優勢。
還有一種三顆骰子的組合，也很特別：
- ✊：1, 1, 3, 5, 5, 6
- ✌️：2, 3, 3, 4, 4, 5
- 🖐️：1, 2, 2, 4, 6, 6
✊贏✌️的機率也是17/36，但平手的機率是4/36，所以落敗的機率只有15/36，比上面的 Miwin’s dice 更有優勢一些。
而且這套骰子都是由1～6點構成的，另外，每顆骰子的點數和都是21！
只要拿三顆普通的骰子，分別「將2改為1，將4改為5」、「將1改為3，將6改為4」、「將3改為2，將5改為6」，就可以做出來了。
我要一打二
前面提到的，都是一對一的賭局，如果是三個玩家，要怎麼確保自己對兩名對手的優勢呢？
答案是「Grime dice」。
- A: 2, 2, 2, 7, 7, 7
- B: 1, 1, 6, 6, 6, 6
- C: 0, 5, 5, 5, 5, 5
- D: 4, 4, 4, 4, 4, 9
- E: 3, 3, 3, 3, 8, 8
這套骰子有兩條食物鏈：
- A → B → C → D → E → A
- A → C → E → B → D → A
如果前兩個對手選擇A和E，你就選D。
那如果前兩個對手選擇A和C呢？
這時候，要選E，但是要改成一次投兩顆骰子，因為這樣第二條食物鏈會逆轉：
- A → D → B → E → C → A
（給設計的人一個掌聲，太神了！🙌🙌🙌）
我還要更多
四位玩家的狀況，被證明需要19顆骰子，目前則是已經設計出23顆骰子的狀況，互剋的情形請參考下方維基百科連結。
GitHub 上一位叫 YouhuaLi 的使用者，設計了一套19個骰子組成、每個骰子有171個面的骰子，解決了四位玩家的問題。他設計的骰子點數可以點此查看。
另外也有12面骰的非遞移性骰子，甚至還有質數版本的，也請參考下方維基百科連結。
延伸閱讀
Intransitive Dice – DataGenetics
Intransitive Dice – American Institute of Mathematics（pdf檔，AI生成中文重點整理）