手遊課金會破產嗎？

這是一個實用的小問題，能讓你避免破產的命運。許多手機遊戲不是都有虛擬抽獎的扭蛋機制嗎？玩家必須花費大量新台幣課金，才能抽取想要的角色或卡片，於是就出現在遊戲上狠砸數十萬卻抽不到角色，替遊戲公司貢獻大把銀子的「課長」。

遊戲公司都擅長行銷，相中的正是人類嗜賭且過份樂觀的心態。事實上，假設抽中某角色的機率是1/10，那並不代表抽10次就一定會抽中，有人運氣好，有人天生帶賽，數學上來講則是好運跟壞運的這些人「平均」抽10次就會抽中。注意這個觀念的不同之處，我們算不出你燒香拜佛後第幾次必定會抽中，但「平均」的次數是可以計算的。

 

 

先從一個直覺的題目看起：丟一顆骰子，平均要丟幾次才會丟出點數六？

答案可以很直觀：骰子每個點數出現的機率都相同，有人運氣好一次就丟出六，有人運氣差丟了幾十次都沒有六，但平均來說，因為每個點數出現的機率相等，所以可以想像成丟六次當中平均每個點數都會出現一次，也就是平均丟六次就會出現點數六。再看看下列問題。

 

問題一：假設10支籤中只有1支是中獎籤（而且規定抽完後要把籤放回去，保證每次抽的中獎機率都相同），那平均要抽幾次才會中獎呢？

答：因為抽中的機率是1/10，所以平均要抽10次才會抽中籤。

 

問題二：同上，改成10支籤中有2支是中獎籤，那平均要抽幾次才會中呢？

答：中獎的機率提高成兩倍了，所以需要抽的次數自然跟著減少一半，平均抽5次即可。

 

問題三：同問題一，改成10支籤中有3支是中獎籤，那平均要抽幾次才會中呢？

答：中獎的機率提高成3倍，抽的次數也會變成原本的1/3，雖然有點怪，是個分數，但答案確實是平均要抽10/3次。

 

問題四：同問題一，考慮一個極端的情況，10支籤中10支都是中獎籤，那平均要抽幾次才會中呢？

答：中獎的機率是100％！絕對是只抽1次就會中獎。順著上面的算式來看，中獎機率提高成10倍，平均要抽10/10次。

 

數學上當然有詳盡的理論可以解釋這些答案，高中有一節數學單元叫做「期望值」，專門處理這類問題，我們就先不談太深的計算，反正遲早會學到的。

 

 

現在再繼續想想手機遊戲中抽課金角的問題，假設遊戲只有兩名角色待抽，那我們平均要抽幾次才能兩個都抽中呢？

為了抽到第一個人：隨意抽都可，要耗費1次。

為了抽到第二個人：此時兩人中只剩下一個人是我們要的，相當於有兩支籤，一支中獎一支不中，中獎機率是1/2，所以平均要耗費2次才能抽中。

以上，一共要抽1＋2＝3次。

 

如果遊戲有三名角色，那我們平均要抽幾次才能兩個都抽中呢？

為了抽到第一個人：隨意抽都可，要耗費1次。

為了抽到第二個人：此時三名中有兩名是我們要的，相當於有三支籤，兩支中獎一支不中，中獎機率為2/3，平均要耗費3/2次才能抽中。

為了抽到第三個人：最後剩下一人還沒被抽中，抽中的機率只有1/3，所以平均要抽3次才會抽中最後這個人。

以上，一共要抽1＋3/2＋3＝5.5次。

 

當角色變成四名時，情況又如何呢？

第一個人要抽1次。

第二個人要抽4/3次。

第三個人要抽4/2次。

第四個人要抽4次。

一共要抽1＋4/3＋4/2＋4＝8.33次。

 

細心的人應該可以歸納出公式了，假設有10個角色待抽。那平均需要耗費的次數為：

1＋10/9＋10/8＋10/7＋10/6＋10/5＋10/4＋10/3＋10/2＋10＝29.29次。

 

這個式子可以表示成10（1＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋1/6＋1/7＋1/8＋1/9＋1/10），不妨將他看成一個公式。如果想要抽的角色提高到20個，平均需要耗費的次數為

20（1＋1/2＋1/3＋…＋1/19＋1/20）＝71.95次！

 

 

最後，仍要注意這個數字只是「平均」，不代表一定會在這個次數之內抽中全角色。當角色數量增加到26名時，平均抽取次數就會超過100，是四倍之多。此外，我們上述的計算都是基於每個遊戲角色出現機率相同的條件，實際上遊戲公司一定會將最受歡迎最強大的角色的中獎機率調低，調到多低不見得會公佈，公佈了也不值得玩家相信。強烈建議大家玩手由前一定要惦量自己的能力，遊戲是個無底的坑啊。

 

 

關於手遊課金的文章，還可以參考下面這邊文章。

學以致用，日本高三學生發表手遊抽卡掉率研究文章獲得日本數學檢定協會獎 – iFuun

（封面圖片來源： iFuun）