內切圓半徑與畢氏定理

在學習三角形內心的單元時,都會學到內切圓半徑與三角形面積及周長的關係。

三角形面積=周長×內切圓半徑÷2

然後,會再學到直角三角形內切圓半徑的特殊算法。

內切圓半徑=(兩股和-斜邊)÷2

 

也就是說,直角三角形的內切圓半徑有以下兩種算法。

r = (a+b-c) ÷ 2 ……(1)

a×b ÷ 2 = (a+b+c) × r ÷ 2
r = ab / (a+b+c) ……(2)

當然,這兩種算法所得到的半徑應該是相等的,因此:

(a+b-c) ÷ 2 = ab / (a+b+c)

(a+b-c) × (a+b+c) = 2ab

(a+b)2 – c2 = 2ab

a2 + 2ab + b2 – c2 = 2ab

a2 + b2 = c2

想不到吧,竟然就這樣證明了畢氏定理。

 

  1. 楊老師

    版主您好,我想到的是您的論證中用到兩切線段等長的前提,而兩切線段等長的證明是用RHS,也就是說已經使用畢氏定理作為前提條件的證明了,這樣會形成套套邏輯,不知道您認為是否如此?

    1. magiclass

      楊老師您好:
      感謝您的用心回覆。
      我也考慮過這樣的證明,有沒有循環論證(套套邏輯)的問題,但沒有考慮到切線段等長已經用到畢氏定理,果然思考還不夠周延。

      不過,如果在證明切線段等長時,使用以下方法,應該就能避免使用畢氏定理。
      證明方法:設兩切線為PA、PB,連接兩切點AB,角PAB=角PBA(兩弦切角對等弧),則三角形PAB為等腰三角形,因此PA=PB。

      不知道還有沒有考慮不周的地方,歡迎指正。

      1. 楊老師

        版主您好,我的確陷入切線等長的標準作法而沒有考慮去窮盡其他沒有用到畢氏定理的證明,您的確分享了一個漂亮無誤的證明,感謝您。

        1. magiclass

          謝謝楊老師的回覆,其實是在您提出疑問後,我才嘗試用另一種方式證明切線段等長。
          感謝有這樣的討論,讓彼此都能成長。

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