解顆星與相似三角形

打撞球時,有時候會遇到需要「解顆星」的情況,也就是為了閃避某些障礙,所以需要讓母球先撞擊球檯邊緣再擊中目標球。例如底下的例子。

 

解顆星 1

假設我們的目標是讓白色的母球利用一顆星,撞擊下方球檯邊後反彈擊中藍色球,那麼該瞄準球檯邊上的哪一個點呢?

 

解顆星 2

上圖中的白色就是期望路徑,N點就是我們的目標。

(本段為數學分析,不喜者請自行跳過中間部分,直接看最後一行的結論。)

通過A、C兩點做垂直檯邊的線段,根據「入射角等於反射角」的原理,角ANC必須等於角BND,又角ACN和角BDN都是90度,所以可以根據AA相似性質,得證三角形ANC和三角形BND相似。根據相似三角形對應邊城比例,得到以下結論。

N點必須滿足「CN:DN=AC:BD」。

常打撞球的大概都知道這個原理,也就是,B點如果越靠近球檯邊,那麼N點的位置就必須越往B點的方向移動。

除了靠經驗累積外,有沒有更準確的方式可以測出N點位置呢?

要利用比例線段幾乎不可能。利用入射角和反射角相等或許可行,但我們對角度的容易有誤差,也不是個容易的方法。

 

解顆星 3

上圖可以提供一個穩當的方法。

(本段為數學分析,不喜者請視情況跳過。)

分別連接AD和BC,假設交點為M,過M點做垂直檯邊的線段,所得到的垂足N即為所求。

為什麼呢?有興趣的讀者可以先自行證明看看。

角AMC=角BMD(對頂角相等),且因為AC平行BD,所以角ACM=角DBM(內錯角相等)。根據AA相似性質,三角形ACM與三角形DBM相似。因此,AM:DM=AC:BD。….(1)

在三角形ACD中,因為MN平行AC,根據平行線截等比例線段性質,AM:DM=CN:DN。….(2)

根據(1)、(2),得證「CN:DN=AC:BD」。

也就是,先分別找出母球和目標球垂直檯邊的兩點C、D,然後用球桿比劃出圖中的兩條虛線,通過這兩條虛線的交點做垂直檯邊的垂線,垂足N就是目標。

當然,實際打撞球時要不要用這個方法,就由讀者自行決定了,畢竟需要花點時間,也不夠帥氣。而真正的高手應該是在腦中比劃,或是直接由球感來判斷了。(筆者是屬於比劃老半天後,還是解不到的那類。)

 

熟悉國中數學的老師或學生,對於上面的內容應該不陌生,甚至可以自行證明出來。而最後一張圖的圖形,應該也曾經看過才是,只是題目和所求不同而已。

在相似形的單元裡,如果遇到相關的題目,或許可以用這個撞球問題切入,增添一些趣味。

 

註:本文內容改寫自張海潮教授所著《數學放大鏡》中,「幾何先生G訪問撞球先生B」一文。

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