數感生活——轉蛋中獎機率10%，175次只中4次有多衰？

【數感生活——轉蛋中獎機率10%，175次只中4次有多衰？】

這陣子，許多人應該有注意到「手遊轉蛋」的議題。

現在許多手機或線上遊戲都有抽卡、合成等各種機制，利用機率的不確定性，增添遊戲的趣味與刺激。

既然是機率，再不可能的事情都會發生，例如中樂透頭彩或被雷擊；再可能的事情也會錯過，例如選擇題刪到兩個選項還是猜錯。

也因此，比起關心一個隨機事件是否發生，我們更關心它「發生的可能性多高」？

此次轉蛋最大的爭議也就是因為——發生的可能性太低了。

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§袋子裡的紅球跟白球

根據新聞報導，與前天高虹安委員招開的記者會顯示，知名實況主 Dinter 丁特玩了轉蛋175次，只中4次。官方公布的中獎機率是10%。讓我們回顧一個大家應該有印象的高中機率問題：

袋子裡有9顆白球，1顆紅球。每次抽1顆球，看完顏色後，再把球放回袋子裡。

第一小題，請問抽1次，抽到紅球的機率是多少？

答：這題應該很簡單，10%。

 

第二小題，請問抽2次，抽到1次紅球的機率是多少？

答：先紅再白，或是先白再紅。 0.1×0.9+0.9×0.1 = 18%

 

第三小題，請問抽4次，抽到2次紅球的機率是多少？

答：「紅紅白白」4個字作排列，C4取2=6種，每種的機率都是0.1×0.1×0.9×0.9，總計是4.86%

 

接下來請讓我們推展到一般狀況。

如果每次中獎機率是p，且彼此是獨立事件，「抽N次中M次」的機率就是

CN取M × (p的M次方) × ( 1-p的N-M次方)

這完全是可以算出來。不過，比起算單一事件的機率，我們不如來看一個更有趣的指標——和我一樣或更衰的機率。

 

§和我一樣或更衰的機率

以記者會中的丁特例子來說，他抽175次，倘若今天有一個人抽175次全中，那他「和我一樣或更衰」的機率是1，表示他是一位幸運兒，所有人都沒他好運；另一個人抽175次只中了1次，他「和我一樣或更衰」的機率約是1.9 × 10 -7。根據我們的計算，175次抽中17次是一個中間點，「和我一樣或更衰」的機率是51%。

那麼，丁特抽175次只中4次，「和丁特一樣或更衰」的機率是多少呢？

十萬分之7

差不多是1張發票中五碼4千元的兩倍機率。

他的運氣還不只差這麼一次。根據報導，丁特後續又再抽，前後總計抽了475次——只中11次。至此比他衰的機率低到令人難以置信，有興趣的朋友可以算算看。

也是因為這樣，加上之前就有許多對轉蛋機制的質疑，才會造成了這次的大量討論。當然，我們還是得強調，再怎麼不可能發生的事情都會發生。所以才會有人被雷打到，有人中樂透頭獎。事實上，樂透頭彩機率之低，還衍生出一個討論是：

買樂透的最佳時機是開獎日的當天下午。因為比起中頭獎的機率，走在路上出車禍意外生亡的機率更高。所以縮短買樂透跟開獎中間的時程，能有效提高你「活著領到頭獎」的機率。

離題了趕快回來，正因為不太可能發生的事情卻發生了，大家才會開始討論，是丁特真的很不幸，還是中獎機率沒有10%，或其實不是獨立事件，每次抽獎之間有所關聯，那到底又是什麼關聯呢？我們對裡面的數學機制很好奇，消費者花錢玩遊戲，更希望能獲得預期的回報。

最後，到底整件事情可能性有多高多低，其實也不一定要用上二項式定理算得那麼辛苦，或是花一大筆錢去實測。只要準備十枚10元硬幣，把其中一枚塗成紫色，花上半小時抽個175次，就可以重現「理論上」的丁特抽獎過程了。

 

 

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