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樂高中的貝氏定理

樂高中的貝氏定理

學過機率的讀者，應該都知道「貝氏定理」（Bayes’ Theorem），這是關於條件機率的重要定理。

但你想過，用樂高積木，也可以說明「貝氏定理」嗎？

 

 

從小小的積木開始

bayes-theorem-with-lego-1

如上圖，假設底層的紅藍積木是整個機率空間，大小是60格。

因此，P(藍底) = 40/60 = 2/3、P(紅底) = 20/60 = 1/3。

很合理的，P(藍底) + P(紅底)= 1。

另外，P(有黃塊) = 10/60 = 1/6。

 

 

條件機率

bayes-theorem-with-lego-2

進入條件機率，來算算P(有黃塊|紅底)。這個機率的意思是：給定「紅底」這個條件下，「有黃塊」的機率。

P(有黃塊|紅底) = 有黃塊的紅底格數 / 紅底格數 = 4/20 = 1/5。

也就是說，如果已經知道某個人所在位置的底層是紅色的，那麼他同時又在黃塊上的機率是1/5。

 

bayes-theorem-with-lego-3

再來算算另一個條件機率，P(紅底|有黃塊)。根據上面的說明，這個機率的意思是：給定「有黃塊」這個條件下，「紅底」的機率。

P(紅底|有黃塊) = 有黃塊的紅底格數/有黃塊格數 = 4/6 = 2/3。

也就是說，如果已經知道某個人在黃塊上，那麼他的所在位置的底層同時又是紅色的的機率是2/3。

 

 

導出貝氏定理

先定義幾個名詞。

P(Red|Yellow)：P(紅底|有黃塊)

Yellow-Red：有黃塊的紅底格數

Yellow：有黃塊格數

Red：紅底格數

Total：總格數

 

開始推導。

P(R|Y) = \frac{ Yellow-Red }{ Yellow }

Yellow-Red = P(Y|R) * Red（有黃塊的紅底格數 =P(有黃塊|紅底) * 紅底格數）

 

P(R|Y) = \frac{ P(Y|R) * Red }{ Yellow }

Red = P(R) * Total（紅底格數 = P(紅底) * 總格數）
Yellow = P(Y) * Total（有黃塊格數 = P(有黃塊) * 總格數）

 

P(R|Y) = \frac{ P(Y|R) * P(R) * Total }{ P(Y) * Total }

約掉 Total（總格數）。

 

P(R|Y) = \frac{ P(Y|R)*P(R) }{ P(Y) }

 

 

最後，假設「紅底」是A事件，「有黃塊」是B事件。

P(A|B) = \frac{ P(B|A)*P(A) }{ P(B) }

貝氏定理完成！

 

 

原文：https://www.countbayesie.com/blog/2015/2/18/bayes-theorem-with-lego

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