畢氏定理之美

在教畢氏定理之前,我會先用以下的問題來做開頭。

上圖中,線段AB=3,線段BC=4,角B為直角。請問灰色部份面積為多少?(註:pi為圓周率)

(A)2.5pi (B)3.5pi (C)5pi (D)6 (E)7

請依「直覺」做答。

各位如果有時間,麻煩點此聯結回答,提供我們更多的資訊及樣本。

我第一次教到這題時,起初沒什麼特別的感覺,但是當我一步步解題,到最後得到答案後,發現這樣兩個類似半圓的圖形,面積和竟然是個正整數。

當下我就在課堂上,學生疑惑的目光下,陶醉了起來,深深地覺得,數學真的很美。

我後來想,如果在學畢氏定理前,先讓學生憑直覺猜測這題的答案,然後在學完理論之後,再讓他們試著解答這題,當求得結果後,即便不能欣賞當中的美,但應該也不得不讚嘆數學之奇妙吧。

我先做了個實驗,把這問題放在網路上給網友回答。不知道是網友素質太高,或是數學直覺太好,竟然有八成的答題者選擇了正確答案。這和我所預期的-大部份的答題者並不容易認為答案是個正整數-有非常大的出入。

當然,分析答題者背景,發現大多是高中以上的程度,而且我認為應該大多數的網友並不會「乖乖」的依直覺回答,我想這可以解釋為何有如此高的答對率。

這學期上課,我正式在課堂上做了實驗。結果在20個回答中,只有3位同學選擇了正確答案,而且還有答對的同學說:「我只是選一個看起來不可能的,因為我覺得老師一定會耍心機」。

雖然被學生虧了一頓,但至少這次的結果總算符合預期了。也就是,對於尚未學習畢氏定理的學生而言,這結果是出乎他們意料之外的。

我想,即便如此,應該還是有不少學生是完全「無感」的,但如果能讓某些學生感受到數學的美妙,那也很值得了。

 

 

來看看動畫版。

 

 

下面這張圖也是異曲同工之妙,不過似乎更美一點喔!

In 440 BCE Hippocrates of Chios proved that Four Lunes Equal One Square. 4個半月形=1個正方形( 圖片來源:Fermat’s Library)

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