猜猜多項式～Guess the Polynomial～

小伶小依玩遊戲，小伶在心中想像一個一次的多項式f (x)，不告訴小依，小依提出一個整數x的值，小伶再計算f (x)的值並告訴小依。例如小伶心中想了一個一次多項式f (x) = 5x+1。

小依問：x=1，小伶答：f (1)=6

小依問：x=2，小伶答：f (2)=11

小依由條件假設多項式f (x) = ax+b，可知

a+b=6

2a+b=11

解聯立方程組得知原多項式為f (x) = 5x+1。

 

 

把遊戲的難度提高一些，如果讓小伶想像任意次數的多項式，也耍點心眼，不告訴小依是幾次呢？這麼一來，滿足f (1)=6及f (2)=11的多項式有無限多個，例如一次式f (x) = 5x+1和二次式f (x) = x²+2x+3都可能是答案，小依需要詢問非常非常多的整數才能確定。

 

嗯，又或許不必這麼麻煩，運氣好的話，問一個問題就夠了！假設小伶心中想的是四次多項式f (x) = 3x⁴+7x³+4x²+2x+8，此時小依只要詢問f (10)的值，小伶需回答37428，有沒有發現這個數字剛好對應多項式各項的係數？小伶計算

f (10) = 37428 = 3×10⁴+7×10³+4×10²+2×10+8

這個算式背後的意思是十進位，四次式代表這個數字是萬位數，3×10⁴代表萬位是3、7×10³代表千位是7等等，3萬7千4百2十8對應多項式3x⁴+7x³+4x²+2x+8，任何一個正整數都可以用這種寫法表示。

 

這個招式還不是必勝法，它只能表達十進位的數字，如果係數超過10呢？例如f (x) = x²+11x+5，數字11超過十進位能表達的係數了，此時f (10)=215，答案會被誤會成f (x) = 2x²+x+5，噹噹錯誤答案。十進位派不上用場了，小依要換更大的進位法，這個例子中至少要換比11大的，例如

f (12) = 281 = 1×12²+11×12+5

此時答案由12進位表示。

 

可是又要怎麼知道使用幾進位才夠呢？如果小伶故意選擇很大的係數

f (x) = 999x³+333x²+2x+1

，小依如何知道要代入多大的x值？可以的！既然係數都是正整數，那就先問f (1) =1335，f (1)的意義是把每一項的係數相加，所以我們能確認這個多項式各項的係數都不會大於1335，那只要再繼續追問f (1336)的值，

f (1336) = 2382830807985 = 999×1336³+333×1336²+2×1336+1

這是一個1336進位表示法的數字，且對應原多項式。

 

在滿足「非負整係數多項式」的條件下，次數再大也無所謂，係數再大也無所謂，我們僅僅使用兩個整數就能就找出該多項式。首先詢問f (1)的值，假設f (1) = k，再詢問f (k+1)的值，並將f (k+1)用k+1進位表示即可。

 

 

本文作者為竹南高中數學科教師