拜託你別再犯了 ─ 國中數學七年級常見錯誤類型及迷思概念

教書幾年後，就會發現，學生常犯的錯誤，就是那幾個。

而且，就像是香港腳(❓)一樣，一旦染上，就很難根治。

幫助學生度過這些關卡，釐清迷思，當然就是老師的任務。

 

課綱的課程手冊，其實就整理了每個學習內容，學生常有的錯誤概念。

早期發現，早期治療，讓學生可以減少犯錯的機會。

 

看完之後，你會發現，真的很中肯。

根本就是看著學生的考卷，整理出來的吧？

 

以下是七年級的部分。

 

 

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N-7-1 100 以內的質數

1. 學生可能會有認為 1，91 都是質數的迷思概念。

 

 

N-7-2 質因數分解的標準分解式

1. 標準分解式求最大公因數與最小公倍數的問題，學生會誤選質因數與質因數的指數。
2. 學生對於應用問題中，會誤判該求最大公因數或最小公倍數。

 

 

N-7-3 負數與數的四則混合運算(含分數、小數)

1. 學生可能有 −a 為負數的迷思概念。
2. 學生可能會有 2/3 的相反數為 3/2 的迷思概念。

 

 

N-7-4 數的運算規律

1. 學生可能會忽略正、負符號的運算，例如：-a×(-b+c) = ab+ac的錯誤產生。
2. 學生對於除法的運算會有迷思概念，例如：a÷(b+c)=a÷b+a÷c，a÷b÷c=a÷(b÷c)。

 

 

N-7-5 數線

1. 教學上若有談到前述「絕對值的等價意義」，宜注意學生可能會有| a |= ±a 的迷思概念。
2. 當學生學會負數的加減計算後，應該要理解有絕對值算式的計算，例如：10 – | -6 | 和 10 – (-6)的不同。

 

 

N-7-6 指數的意義

1. 學生會誤認為當 n 愈大，則 aⁿ 會愈大。
2. 學生會誤認為(b/a)ⁿ = bⁿ/a
3. 當指數 n 分別為奇數和偶數時，釐清 aⁿ、(-a)ⁿ、-(-a)ⁿ、-aⁿ 的異同。

 

 

N-7-7 指數律

1. 學生可能會將(a×b)ⁿ=aⁿ×bⁿ誤用為(a+b)ⁿ=aⁿ+bⁿ或(a-b)ⁿ=aⁿ-bⁿ。

 

 

N-7-8 科學記號

1. 在科學記號與小數的轉換上易有迷思概念，例如：2.3×10^-4 = 0.000023 的迷思概念。
2. 單位換算中的迷思概念，例如：1公分 = 10² 公尺的迷思概念。

 

 

N-7-9 比與比例式

1. 「已知2a = 3b，則a : 3 ＝ b : 2」，學生可能有「a : 2＝b : 3」的迷思概念。
2. 在 y 和 x 成正比的關係式 y  = kx 中，學生可能有「k > 0」的迷思概念。
3. 在應用問題的比例式中，學生可能有「等號兩邊前後項的對應關係位置擺錯」的迷思概念。
4. 學生可能有「若 x 增加，y 也隨之增加，則 y 必和 x 成正比」或「若 x 增加，y 也隨之減少，則 y 必和 x 成反比」的迷思概念。

 

 

S-7-1 簡單圖形與幾何符號

1. 角的記法稱∠BAC，部分學生不知道誰是頂角。
2. ∠A 的 A，可能誤寫在圖形的裡面。

 

 

S-7-2 三視圖

1. 學生易混淆左右視圖的方向。
2. 學生繪製上視圖時，可能誤解上視圖的定義，例如從立體圖形的左上方往下看，則會產生偏差 90 度的錯誤上視圖。

 

 

S-7-3 垂直

1. 有些學生誤以為直線有中垂線。
2. 有些學生誤以為直線有中點。
3. 有些學生誤以為與線段互相垂直的直線只有一條。

 

 

S-7-4 線對稱的性質

1. 學生易誤認平行四邊形是線對稱圖形。
2. 學生易誤認矩形的對角線是對稱軸。
3. 學生易誤認對稱圖形的對稱軸只有一條。

 

 

S-7-5 線對稱的基本圖形

1. 學生容易將邊長都等長的多邊形誤為正多邊形。
2. 學生容易將內角都相等的多邊形誤為正多邊形。

 

 

G-7-1 平面直角坐標系

1. 學生可能會混淆直角坐標系 (𝑥, 𝑦) 和 (𝑦, 𝑥) 的位置。
2. 點在第一象限，學生可能會誤認為與 𝑥 軸的距離就是其 𝑥 坐標，與 𝑦 軸的距離就是其 𝑦 坐標。當點在其他象限時，可能會有正負號的混淆。
3. 學生可能會混淆東西南北的相對關係。
4. 學生可能誤認為象限含有坐標軸，例如：(3, 0) 不屬於第一象限，也不屬於第四象限。

 

 

A-7-1 代數符號

1. 學生在利用分配律 a(b+c) = ab +ac 化簡代數式時，可能會忘記 a 既要乘 b，也要乘 c。如化簡 3(x+1)-2x+1 時，可能會寫成
   3(x+1)-2x+1 = 3x+1-2x+1=x+2。
2. 部分學生在化簡 3-2x+7x 時，可能會寫成 3-9x。
3. 部分學生在化簡分式 (9x-3)/3 時，可能會寫成 3x-3。

 

 

A-7-2 一元一次方程式的意義

1. 將應用問題轉化成數學式子時的迷思概念，例如「已知小桐今年 12 歲，小桐父親今年 40歲。請問經過幾年後父親年齡為小桐年齡的兩倍？」，學生可能轉化為「 40+ x =12×2」。

 

 

A-7-3 一元一次方程式的解法與應用

1. 當簡化方程式時，參雜有分數混合計算，因為過程中多了一些步驟，學生容易發生疏漏。如將方程式 x/2 + x/3 = 1 兩邊同乘6時，誤寫成 6(x/2 + x/3) = 1。
2. 假設方程式為 3x-6=9，部分學生可能會將「左右同時乘以 1/3 」誤寫成 1/3 ×3x-6 = 1/3 ×9，而得到 x −6 = 3。
   又或是在做「左右同時除以3」時列式列對 (3x − 6) / 3 = 9 / 3，但化簡時，將左式錯誤化簡成 x −6。
   為了避免類似的錯誤，老師可提醒學生在解一元一次方程式時，最好先將所有含未知數的項移至等號的一側，而所有未含未知數的項移至等式的另一側，使得等式兩側各只有一項，最後解出未知數。

 

 

A-7-8 一元一次不等式的解與應用

1. 部份學生常會忘記「不等式兩側同乘以一負數，不等號方向改變」。
2. 部份學生在看到一個未知數時，心理上會覺得那代表一個正數（這或許是因為小學階段碰到的數都是正數），而犯下類似「若 5 > 3，則 5𝑥 > 3𝑥」的錯誤。
3. 部份學生會誤認 x > 2 的解只包含整數解，例如寫成 x = 3, 4, 5, …。

 

 

D-7-1 統計圖表

1. 學生可能選擇不適當的統計圖，例如：不具順序或不具連續性的資料，統計圖卻選擇以直方圖、或折線圖呈現。

 

 

D-7-2 統計數據

1. 誤認為任何資料中平均數和中位數都必定很接近，甚至相等。

 

 

 

延伸閱讀：看梗圖學數學 ─ 國中常犯錯誤整理 Part 1

 

資料來源：十二年國教國民中小學暨普通型高中-數學課程手冊