數感生活——成功交換禮物的機率

數感生活 —— 成功交換禮物的機率

聖誕節快到了!你最近也開始準備交換禮物了嗎🎄

一群好友精心挑選了禮物,放在耶誕樹下,玩個遊戲大風吹交換禮物後——然後有人拿到自己的禮物…

這樣掃興的場面偶爾偶爾會發生。到底多「偶爾」,其實不僅可以算出來,大多數的人也都算過:

小明寫了4封信給4位朋友,封好後信封混在一起,不知道哪封信是寄給誰的,只好隨便在信封寫下寄件者,請問4封信都裝錯的機率是多少?

這是高中排列組合、機率的標準考題。只要把信封想成是禮物,信想成人,「交換禮物」跟「裝錯信封」背後是一模一樣的數學邏輯。

跳過計算,我們直接來看答案:2人的時候是50%(兩個人就好好交換不行嗎,幹嘛一定還要抽籤呢),3人時33%,4人是37.5%,人數持續成長,「都沒拿到自己的禮物」機率會趨近37%,用更數學一點的說法是1/e,e是歐拉數2.718。

也就是說,玩交換禮物有將近四成的機率,大家都能拿到別人的禮物。聽起來沒有高,難怪數學家發明了幾種避免抽到自己禮物的遊戲規則。

我們都能想像「沒人拿到自己禮物」的機率會隨著人數而改變,但沒想到最後竟然會趨近於一個定值,還跟常數e有關。完整的計算公式如圖所示,非常簡潔,不過就是幾個數字的運算。如果你看到這樣簡潔的公式會發出感嘆「數學真厲害啊」,恭喜你也漸漸懂得欣賞數學之美噢😋

 

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