數感生活——成功交換禮物的機率

數感生活 —— 成功交換禮物的機率

聖誕節快到了！你最近也開始準備交換禮物了嗎🎄

一群好友精心挑選了禮物，放在耶誕樹下，玩個遊戲大風吹交換禮物後——然後有人拿到自己的禮物…
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這樣掃興的場面偶爾偶爾會發生。到底多「偶爾」，其實不僅可以算出來，大多數的人也都算過：

小明寫了4封信給4位朋友，封好後信封混在一起，不知道哪封信是寄給誰的，只好隨便在信封寫下寄件者，請問4封信都裝錯的機率是多少？

這是高中排列組合、機率的標準考題。只要把信封想成是禮物，信想成人，「交換禮物」跟「裝錯信封」背後是一模一樣的數學邏輯。
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跳過計算，我們直接來看答案：2人的時候是50%(兩個人就好好交換不行嗎，幹嘛一定還要抽籤呢)，3人時33%，4人是37.5%，人數持續成長，「都沒拿到自己的禮物」機率會趨近37%，用更數學一點的說法是1/e，e是歐拉數2.718。
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也就是說，玩交換禮物有將近四成的機率，大家都能拿到別人的禮物。聽起來沒有高，難怪數學家發明了幾種避免抽到自己禮物的遊戲規則。
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我們都能想像「沒人拿到自己禮物」的機率會隨著人數而改變，但沒想到最後竟然會趨近於一個定值，還跟常數e有關。完整的計算公式如圖所示，非常簡潔，不過就是幾個數字的運算。如果你看到這樣簡潔的公式會發出感嘆「數學真厲害啊」，恭喜你也漸漸懂得欣賞數學之美噢😋

 

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