翻轉不變689

前一陣子「689」這個數字很火熱，也有文章專門討論這神奇的數字，這篇文章則是針對689「翻轉不變」的特性來談談。

來做個小實驗。

首先，把689寫在一張紙上。

接著，把這張紙往左「翻面」，再往上「翻面」，你看到了哪個數字？

或者，直接把這張紙「旋轉」180度，你看到了哪個數字？

圖片來源：http://findthefactors.com/2015/11/24/what-makes-689-amazing/

無論是「翻」或是「轉」，這個689都不會變，是吧？

 

 

翻轉不變數

事實上，這種特性的數字，叫做Strobogrammatic number，中文有人翻成「對稱數」，不過既然他「翻」過來「轉」過去都不會變，那就趕流行稱他為「翻轉不變數」吧！

至於這樣的數有多少個呢？可以簡單分析看看。

首先，我們用「SN」來簡稱「翻轉不變數」。

0、1、8自身翻轉不變，6和9可以互相翻轉，SN就是由這兩類數字組合而成。

假如把自身翻轉不變記為ｘ，互相翻轉的數組記為ｐｄ，那麼SN的可能可以分析如下。

1位數SN：ｘ

由於ｘ有3種可能，因此1位數SN也只有3種。

 

2位數SN：ｘｘ、ｐｄ

ｘ有3種可能，但00不合，ｐｄ有69和96共2種可能，因此2位數SN有3-1+2=4種。

 

3位數：ｘｘｘ、ｐｘｄ

3位數SN可以想成2位數SN的中間插入一個ｘ，因此3位數SN有4*3=12種。

 

4位數：ｘｘｘｘ、ｘｐｄｘ、ｐｘｘｄ、ｐｐｄｄ

4位數SN可以想想成是把ｘｘ或ｐｄ的組合分別使用，再扣除0為首的不合數，所以頭尾有3-1+2=4種可能，中間有3+2=5種可能，因此4位數SN有4*5=20種可能。

 

 

翻轉不變年

經由上面的推論，一萬以內的SN只有39個，可以說是非常稀少。

而最近一次的翻轉不變年，則是55年前的1961年。

至於下一個翻轉年，則要到6009年！

 

 

更多翻轉不變

其實翻轉不變的定義很模糊，完全由字型來決定，相信也有讀者認為，1和8翻轉後並不是1和8，甚至是一開始寫的689翻轉之後，也不像689。

又或者有些數位顯示器（Seven-segment display）中，2和5都是自身翻轉不變（如連結圖示），那麼SB的可能組合又更多了。

https://images.app.goo.gl/LVpmvsXXFJY5saQj8

 

 

結論

前面在尋找SN時，用了比較有系統的方式，比較不會遺漏，也可以從中找尋規則，加快尋找的速度。這種方法在數學中常常出現，相信讀者應該不陌生。

另外，過程中其實用了一些排列組合的概念，如果讀者可以理解，代表排列組合也有一定的基礎喔。

最後，讀者有沒有發現，S和N也有翻轉不變的特性喔！不過SN翻轉後會變NS，因為他們都是自身翻轉不變，所以湊在一起沒辦法變SN。