翻轉不變689

前一陣子「689」這個數字很火熱,也有文章專門討論這神奇的數字,這篇文章則是針對689「翻轉不變」的特性來談談。

來做個小實驗。

首先,把689寫在一張紙上。

接著,把這張紙往左「翻面」,再往上「翻面」,你看到了哪個數字?

或者,直接把這張紙「旋轉」180度,你看到了哪個數字?

689-rotation
圖片來源:http://findthefactors.com/2015/11/24/what-makes-689-amazing/

無論是「翻」或是「轉」,這個689都不會變,是吧?

 

 

翻轉不變數

事實上,這種特性的數字,叫做Strobogrammatic number,中文有人翻成「對稱數」,不過既然他「翻」過來「轉」過去都不會變,那就趕流行稱他為「翻轉不變數」吧!

至於這樣的數有多少個呢?可以簡單分析看看。

首先,我們用「SN」來簡稱「翻轉不變數」。

0、1、8自身翻轉不變,6和9可以互相翻轉,SN就是由這兩類數字組合而成。

假如把自身翻轉不變記為x,互相翻轉的數組記為pd,那麼SN的可能可以分析如下。

1位數SN:x

由於x有3種可能,因此1位數SN也只有3種。

 

2位數SN:xx、pd

x有3種可能,但00不合,pd有69和96共2種可能,因此2位數SN有3-1+2=4種。

 

3位數:xxx、pxd

3位數SN可以想成2位數SN的中間插入一個x,因此3位數SN有4*3=12種。

 

4位數:xxxx、xpdx、pxxd、ppdd

4位數SN可以想想成是把xx或pd的組合分別使用,再扣除0為首的不合數,所以頭尾有3-1+2=4種可能,中間有3+2=5種可能,因此4位數SN有4*5=20種可能。

 

 

翻轉不變年

經由上面的推論,一萬以內的SN只有39個,可以說是非常稀少。

而最近一次的翻轉不變年,則是55年前的1961年。

至於下一個翻轉年,則要到6009年!

 

 

更多翻轉不變

其實翻轉不變的定義很模糊,完全由字型來決定,相信也有讀者認為,1和8翻轉後並不是1和8,甚至是一開始寫的689翻轉之後,也不像689。

又或者有些數位顯示器(Seven-segment display)中,2和5都是自身翻轉不變(如連結圖示),那麼SB的可能組合又更多了。

https://images.app.goo.gl/LVpmvsXXFJY5saQj8

 

 

結論

前面在尋找SN時,用了比較有系統的方式,比較不會遺漏,也可以從中找尋規則,加快尋找的速度。這種方法在數學中常常出現,相信讀者應該不陌生。

另外,過程中其實用了一些排列組合的概念,如果讀者可以理解,代表排列組合也有一定的基礎喔。

最後,讀者有沒有發現,S和N也有翻轉不變的特性喔!不過SN翻轉後會變NS,因為他們都是自身翻轉不變,所以湊在一起沒辦法變SN。

 

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