超級總動員也很有素養 ─ 抽球與機率

超級總動員》是個小組PK的節目,最近有個新規則:

比賽分成黃、藍兩隊。

在箱子中放進5顆黃球,5顆藍球。

在單項競賽中獲勝的隊伍(勝隊),可以先抽2次球。

然後再換落敗的隊伍(敗隊),抽1次球。

抽後的球不放回。

抽到自己隊伍顏色的球,才算得分。

幾次競賽後,得分多的隊伍獲勝。

 

 

很有趣的設定,而且可以延伸幾個(素養)問題。

  1. 勝隊得分比敗隊低的機率是多少?
  2. 平均而言,勝隊可以比敗隊多得幾分?
  3. 如果抽球順序改成「勝隊→敗隊→勝隊」,結果會如何?
  4. 如果敗隊先抽,結果會如何?
  5. 如果規則改成「勝隊先抽3顆,敗隊再抽2顆」,結果會如何?
圖片來源:官方粉絲團

 

 

開始分析囉

我們先假設黃隊獲勝。(數學常做的事:簡化問題)

一共要抽出3顆球,抽後不放回,所有可能結果是10×9×8=720種。(同色的球視為不同顆球)

得分情形,以及可能結果如下。

  • 2:0
    黃黃 黃
    5×4×3=60種
  • 2:1
    黃黃 藍
    5×4×5=100種
  • 1:0
    藍黃 黃、黃藍 黃
    5×5×4+5×5×4=200種
  • 1:1
    藍黃 藍、黃藍 藍
    5×5×4+5×5×4=200種
  • 0:0
    藍藍 黃
    5×4×5=100種
  • 0:1
    藍藍 藍
    5×4×3=60種

 

 

結果是……

先回答第一個問題:勝隊得分比敗隊低的機率是多少?

總共720結果,「勝隊落敗」的可能結果是60種,所以是「60/720」,也就是1/12。

 

接下來是第二個問題:平均而言,勝隊可以比敗隊多得幾分?

這需要利用期望值的概念,「多得分數×發生機率」。

2×60/720+1×100/720+1×200/720+0×200/720+0×100/720+(-1)×60/720=1

沒錯,答案就是「1」。

因為黃隊多抽了「1」次。

 

 

核心概念是……

知道核心是什麼了嗎?

如果知道了,那麼第3~5題你一定知道答案。

如果還是不了解,那就看看下面的文章吧。

海盜桶、鱷魚牙醫、抽籤順序

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