拜託你別再犯了 ─ 國中數學八年級常見錯誤類型及迷思概念

拜託你別再犯了 ─ 國中數學八年級常見錯誤類型及迷思概念

教書幾年後，就會發現，學生常犯的錯誤，就是那幾個。

而且，就像是香港腳(❓)一樣，一旦染上，就很難根治。

幫助學生度過這些關卡，釐清迷思，當然就是老師的任務。

 

課綱的課程手冊，其實就整理了每個學習內容，學生常有的錯誤概念。

早期發現，早期治療，讓學生可以減少犯錯的機會。

 

看完之後，你會發現，真的很中肯。

根本就是看著學生的考卷，整理出來的吧？

 

以下是八年級的部分。

 

 

 

N-8-1 二次方根

  1. 根式和二次方根觀念的混淆，例如：學生可能將 √4 誤解為 √4 = ±2。
  2. 在根式的四則運算中，未將根式化至最簡，產生同類項不能完全合併的情形。
    例如：出現 √8+√2−1的答案。
  3. 學生可能出現√2 + √3 = √(2+3) = √5 、2√3 = √(2×3) = √6 等錯誤概念。
  4. 乘法公式的誤用可能產生的迷思概念，例如：
    (√5 + √3)(√3-√5)=(√5)2-(√3)2 =5-3=2
    (√2+√3)2=(√2)2+(√3)2 =2+3=5

 

 

N-8-2 二次方根的近似值

  1. 學生會有 √220 的整數部分為 220 的迷思概念。
  2. 學生會誤認為1.414 為 √2 的真正的值，也會誤認為以計算機操作 √2 所得的也為真正的值。

 

 

N-8-3 認識數列

  1. 設 an = 2n + 3，則此數列是否有一項的值為3 ？
    由 2n +3 = 3 可得 n = 0，學生可能會回答「有，此時 n = 0」的迷思概念。
  2. 學生在上述數列中，也可能會混淆「數值為5」和「第5 項」的意義。

 

 

N-8-4 等差數列

  1. 學生可能會誤將公差記為 𝑑= 𝑎n − 𝑎n+1。例如：將等差數列 1，6，11，16，21 的公差算成 𝑑 = 1 − 6 = −5。
  2. 學生可能認為 2，6，2，6，2，6 為等差數列，也可能認為 2，2，2，2 不是等差數列。
  3. 學生可能記錯等差數列第 n 項的公式，例如：an = a1 + nd 。

 

 

N-8-5 等差級數求和

  1. 求級數和時，對項數有迷思概念。例如：等差級數 -1+0+1+2+…+m 中，學生可能將之誤認為總共有 m 項，事實上共有 m + 2 項。

 

 

N-8-6 等比數列

  1. 學生可能會誤將公比記為 𝑟 = 𝑎n/𝑎n+1。
    例如：將等比數列 81，27，9，3，1 的公比算成 𝑟 =81/27 = 3。
  2. 學生可能記錯等比數列第 n 項的公式，例如：a𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑟n。
  3. 學生可能認為 2，6，2，6，2，6 為等比數列，也可能認為 2，−2，2，−2，2，−2 不是等比數列。

 

 

S-8-1 角

  1. 學生容易對同位角與同側內角的定義混淆。
  2. 如下圖，學生容易誤解∠1與∠2互為對頂角。

 

 

S-8-2 凸多邊形的內角和

  1. 在學生對於外角的認知容易產生迷思，以為是三角形外面的角。如下圖所示，學生誤以為∠A外角的度數=360°−∠A。
  2. 三角形 ABC，沿著 BC 從 B 到 C，再沿著 AC 從 C 到 A，其旋轉的角度為∠DCA，學生容易誤認為∠BCA。

 

 

S-8-3 平行

  1. 學生習慣背誦同位角相等，內錯角相等，同側內角互補；事實上，同位角不一定相等，內錯角也不一定相等，同側內角不一定互補；前提必須兩直線平行下才成立。

 

 

S-8-4 全等圖形

  1. 學生誤以為兩多邊形所有對應邊都相等就是全等圖形；或者，誤以為兩多邊形所有對應角都相等就是全等圖形。

 

 

S-8-5 三角形的全等性質

  1. 學生對於判斷 SAS、SSS、ASA、AAS、RHS 全等性質仍陌生並充滿迷思，尤其是遇見一組直角三角形時，都會誤認一定是 RHS，事實上可能是 ASA 或 AAS 或其他。
  2. 學生容易將 AAS 與 ASA 視為相同，（忽略了順序關係）；同樣的，SSA 與 SAS 都是兩邊一角的條件，也視為相同的全等性質。

 

 

S-8-6 畢氏定理

  1. 學生對於斜邊的位置有迷思，如圖所示，∠BAC=90°，學生誤認為 AB是斜邊。
  2. 學生習慣背誦3，4，5；給定直角三角形的兩邊長，如圖所示，學生容易誤認為 x=5。
  3. 如圖所示，一直角三角形的三邊分別有三個正方形，已知兩個正方形面積為3，4；第三個正方形面積學生容易誤判為5。

 

 

S-8-7 平面圖形的面積

  1. 學生常常混淆正三角形的高與面積的公式。

 

 

S-8-9 平行四邊形的基本性質

  1. 學生誤認為一組對邊平行且另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形。
  2. 學生誤認為平行四邊形的對角線為內角平分線。

 

 

S-8-10 正方形、長方形、箏形的基本性質

  1. 學生易誤認長方形（矩形）是正方形的一種。
  2. 學生易誤認長方形（矩形）的對角線也是對稱軸

 

 

S-8-11 梯形的基本性質

  1. 學生誤認為梯形的兩腰中點連線將梯形面積平分。

 

 

G-8-1 直角坐標系上兩點距離公式

  1. 將學生可能誤認為 (2,−1) 和 (8, 7) 的兩點距離為 √[(8 − 2)2 + (7 − 1)2]。

 

 

A-8-1 二次式的乘法公式

  1. 學生常誤認 (a+b)(c+d) = ac+bd 及 (a+b)2 = a2 +b2。
  2. 學生常誤算 1032 −972 = (100+3)(100−3)。

 

 

A-8-2 多項式的意義

  1. 在多項式 3𝑥2-2𝑥+1 裡，一次項為 -2𝑥，但會有少數學生憑直覺誤以為一次項為 2𝑥。
  2. 學生會誤以為 𝑥多項式 a𝑥2 +b𝑥 +c 的次數恆為2。

 

 

A-8-3 多項式的四則運算

  1. 學生在做長除法時，常將加減混淆，以下為錯誤的類型。
  2. 基於過去整數除法的經驗，部分學生在長除法取商的時候會覺得係數是整數，如3𝑥2−4 除以 2𝑥−3 時，得商為 𝑥，而非正確的 3𝑥/2。
  3. 在除式為單項式時，部分學生會犯下面形式的錯誤。

 

 

A-8-4 因式分解

  1. 部分學生會誤認為 2不是 3𝑥2−1 的因式，或 3𝑥−3 不是 𝑥(𝑥 −1) 的因式。

 

 

A-8-5 因式分解的方法

  1. 部份學生會將 2𝑥2 誤解成 (2𝑥)2，而誤認 2𝑥2 −9 = (2𝑥−3)(2𝑥+3)。
  2. 部份學生會誤記乘法公式，而以為 𝑥2+9 = (𝑥+3)2。

 

 

A-8-6 一元二次方程式的意義

  1. 部份學生會以為 𝑥2+7 = 𝑥2+3𝑥+5 是一元二次方程式。

 

 

A-8-7 一元二次方程式的解法與應用

  1. 部份學生因為無法因式分解 𝑥2 − 7，而誤以為 𝑥2 − 7 = 0無解。
  2. 部份學生解 𝑥(𝑥 +1) = 𝑥(2𝑥−1) 時會將 𝑥 消掉，而只得到 𝑥 = 2 的解。
  3. 部份學生在用配方法解一元二次方程式時，忘記左右要同加一數，例如解 𝑥2+4𝑥=3時誤寫為 𝑥2+4𝑥+4=3。類似情況也會發生在左右同乘一數。

 

 

F-8-1 一次函數

  1. 學生常誤認為 𝑦 = 𝑐 不是函數。

 

 

F-8-2 一次函數的圖形

  1. 學生常誤認為 𝑦 = 1/𝑥 也是一次函數。

 

 

D-8-1 統計資料處理

  1. 當將連續資料整理成各組資料的次數分配表時，學生常誤解組間邊界數據的處理。例如：表一中的座號 22 號的成績為 80 分，學生可能計算分組的累積次數時，誤將他計入 60~80的分組次數。

 

 

延伸閱讀：看梗圖學數學 ─ 國中常犯錯誤整理 Part 1

 

資料來源：十二年國教國民中小學暨普通型高中-數學課程手冊

 

 

 

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