超級總動員也很有素養 ─ 抽球與機率
《超級總動員》是個小組PK的節目，最近有個新規則：
比賽分成黃、藍兩隊。
在箱子中放進5顆黃球，5顆藍球。
在單項競賽中獲勝的隊伍（勝隊），可以先抽2次球。
然後再換落敗的隊伍（敗隊），抽1次球。
抽後的球不放回。
抽到自己隊伍顏色的球，才算得分。
幾次競賽後，得分多的隊伍獲勝。
很有趣的設定，而且可以延伸幾個（素養）問題。
- 勝隊得分比敗隊低的機率是多少？
- 平均而言，勝隊可以比敗隊多得幾分？
- 如果抽球順序改成「勝隊→敗隊→勝隊」，結果會如何？
- 如果敗隊先抽，結果會如何？
- 如果規則改成「勝隊先抽3顆，敗隊再抽2顆」，結果會如何？
開始分析囉
我們先假設黃隊獲勝。（數學常做的事：簡化問題）
一共要抽出3顆球，抽後不放回，所有可能結果是10×9×8＝720種。（同色的球視為不同顆球）
得分情形，以及可能結果如下。
- 2：0
黃黃 黃
5×4×3＝60種
– - 2：1
黃黃 藍
5×4×5＝100種
– - 1：0
藍黃 黃、黃藍 黃
5×5×4＋5×5×4＝200種
– - 1：1
藍黃 藍、黃藍 藍
5×5×4+5×5×4＝200種
– - 0：0
藍藍 黃
5×4×5＝100種
– - 0：1
藍藍 藍
5×4×3＝60種
結果是……
先回答第一個問題：勝隊得分比敗隊低的機率是多少？
總共720結果，「勝隊落敗」的可能結果是60種，所以是「60/720」，也就是1/12。
接下來是第二個問題：平均而言，勝隊可以比敗隊多得幾分？
這需要利用期望值的概念，「多得分數×發生機率」。
2×60/720＋1×100/720＋1×200/720＋0×200/720＋0×100/720＋(－1)×60/720＝１
沒錯，答案就是「1」。
因為黃隊多抽了「1」次。
核心概念是……
知道核心是什麼了嗎？
如果知道了，那麼第3～5題你一定知道答案。
如果還是不了解，那就看看下面的文章吧。